睇 Γ函數嘅原碼

'''Γ 函數'''，亦叫做'''伽瑪函數'''（Gamma函數），喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

== 定義 ==
Γ 函數嘅定義係：
: <math>\Gamma(z)=\begin{matrix}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0) \end{matrix}</math>
呢個積分喺實數 <math>z>0</math> 時係[[絕對收斂]]，亦可以考慮 <math>z</math> 係[[複數]]嘅情形，呢個時候要求 <math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。

== 無窮乘積 ==
Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：
:<math>
\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
</math>
:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
其中 <math>\gamma</math> 就係[[歐拉常數]]。

== Gamma積分 ==
:<math>
1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx
</math>
<math>
\Rightarrow
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx
</math>

== 遞歸公式 ==
Γ 函數嘅遞歸公式係：
: <math>\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>

對於正整數 n，有

: <math>\Gamma(n+1)=n!</math>

可以話Γ 函數係[[階乘]]嘅推廣。

=== 推導遞歸公式 ===

<math>\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1}  dx  =  \int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx</math>

用[[分部積分法]]嚟計呢個積分：

<math>\int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx  = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx</math>

當 x = 0 時，<math>\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0</math>。當 x 趨於無窮大時，根據[[洛必達法則]]，有： 

<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0</math>.

因此第一項<math>\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty </math>變咗零，所以：

<math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx</math>

等式嘅右面啱啱就係n<math>\Gamma(n)</math>。所以[[遞歸公式]]係：

:<math>\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) </math>。

== 重要性質 ==
[[File:Gamma_plot.svg|thumb|right|200px|Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形]]
* 當<math>z\to 0^+</math>時，<math>\Gamma(z)\to+\infty</math>
* 歐拉反射公式：
: <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)</math>
: 由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，<math>\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}</math>。
* 乘法定理：
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>
:<math>
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).
</math>
* 補充：
:<math>
\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right)
= \frac{ (2n) ! \sqrt{\pi} }{ n ! 4 ^ n }
</math>
:呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

== 特殊值 ==
:<math>
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}
</math>

== 斯特靈公式 ==
[[斯特靈公式]]可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

== 解析延拓 ==
[[File:Gamma abs.png|thumb|right|Γ 函數嘅絕對值函數圖形]]
注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 <math>z</math> 嚟做實部大於零嘅[[複數]]、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個[[全純函數]]。利用函數方程
: <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) </math>
並注意到函數 <math>\sin (\pi z)</math> 係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 <math>\mathrm{Re}(z)<1</math> 時設
: <math> \Gamma(z) := \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}</math>
從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅[[亞純函數]]，佢喺 <math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math> 有單[[極點]]，留數係
: <math>\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!} </math>

== 睇埋 ==
* [[雙伽瑪函數]]
* [[多伽瑪函數]]
* [[階乘]]
* [[機率密度函數]]

== 出面網頁 ==
*[http://www.chit.edu.tw/mathmet/graph/gamma-prop.htm GAMMA 函數嘅性質]

[[Category:特殊函數]]
[[Category:特殊超幾何函數]]
[[Category:複分析]]