睇佩爾數嘅原碼

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'''佩爾數'''系一個自古以嚟就知嘅整數數列，由[[遞推關系]]定義，與[[斐波嗰契數]]類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與[[白銀比]]嘅冪成正比。佢出依家[[2嘅算術平方根]]嘅近似值以及[[三角平方數]]嘅定義中，也出依家一啲組合數學嘅問題中。

==定義==
佩爾數由以下嘅[[遞推關系]]定義：
:<math>P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>

也就系講，佩爾數嘅數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都系前面嘅數嘅兩倍加上再前面嘅數。原幾個佩爾數系：
:[[0]], [[1]], [[2]], [[5]], [[12]], [[29]], [[70]], [[169]], 408, 985, 2378…… {{OEIS|id=A000129}}。

佩爾數也可以用通項公式嚟定義：
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.</math>
對於較大嘅''n''，<math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n</math>嘅項起主要作用，而<math>\scriptstyle (1-\sqrt 2)^n</math>嘅項則變得微乎其微。因此佩爾數約莫與[[白銀比]]<math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)</math>嘅冪成正比。

第三種定義系以下嘅[[矩陣]]公式：
:<math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.</math>

從呢啲定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下嘅恆等式，與斐波嗰契數嘅[[卡西尼恆等式]]類似：
:<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,</math>
呢個恆等式系以上矩陣公式嘅直接結果（考慮矩陣嘅[[行列式]]）。

==2嘅算術平方根嘅近似值==
佩爾數出依家[[2嘅算術平方根]]嘅[[丟番圖逼近|有理數近似值]]中。如果兩個大嘅整數''x''和''y'' 系[[佩爾方程]]嘅解：
:<math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,</math>
咁佢哋嘅比<math>\tfrac{x}{y}</math>就系<math>\scriptstyle\sqrt 2</math>嘅一個較精確嘅近似值。呢種形式嘅近似值嘅數列系：
:<math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>

其中每一個分數嘅分母系佩爾數，分子則系呢個數與前一個佩爾數嘅和。也就系講，佩爾方程嘅解具有<math>\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>嘅形式。<math>\sqrt 2\approx\frac{577}{408}</math>系呢啲近似值中嘅第八個，喺公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀嘅古希臘數學家也知呢個近似值嘅數列；佢哋把呢個數列嘅分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

呢啲近似值可以從<math>\scriptstyle\sqrt 2</math>嘅[[連分數]]展開式推出：
:<math>\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}}.</math>
攞呢個展開式嘅有限個項，便可以產生<math>\scriptstyle\sqrt 2</math>嘅一個近似值，例如：
:<math>\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.</math>

==素數和平方數==
'''佩爾素數'''系既系佩爾數又系[[素數]]嘅數。原幾個佩爾素數系：
:2, 5, 29, 5741, …… {{OEIS|id=A086383}}。
與斐波嗰契素數相似，僅當''n''本身系素數時<math>P_n</math>才有可能系素數。

唯一嘅既系佩爾數又系平方數、立方數或任意整數次方嘅數系0, 1, 以及169 = 13<sup>2</sup>。

然而，佩爾數與[[三角平方數]]有密切嘅關系。佢哋出依家以下佩爾數嘅恆等式中：
:<math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>
等式嘅左面系[[平方數]]，等式嘅右邊系[[三角形數]]，因此系三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero喺2006年證明咗佩爾數與平方數之間嘅另外一個恆等式，並證明咗從<math>P_1</math>到<math>P_{4n+1}</math>嘅所有佩爾數嘅和總系平方數：
:<math>\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2.</math>
例如，從<math>P_1</math>到<math>P_5</math>嘅和系<math>0+1+2+5+12+29=49</math>，系<math>P_2+P_3=2+5=7</math>嘅平方。<math>P_{2n}+P_{2n+1}</math>就系呢個和嘅平方根：
:1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… {{OEIS|id=A002315}}。

==勾股數==
[[File:Pell right triangles.svg|thumb|300px|邊長為整數嘅直角三角形，其直角邊幾乎相等，由佩爾數引出。]]
如果一個直角三角形嘅邊長為''a''、''b''和''c''（必須滿足[[勾股定理]]''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup>），咁(''a'',''b'',''c'')稱為[[勾股數]]。Martin喺1875年描述，佩爾數可以用嚟產生勾股數，其中''a''和''b''相差一個單位。呢個勾股數具有以下形式：
:<math>(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).</math>
用呢種方法產生嘅勾股數嘅序列系：
:(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ……

==佩爾-盧卡斯數==
'''佩爾-盧卡斯數'''由以下嘅遞推關系定義：
:<math>Q_n=\begin{cases}2&\mbox{if }n=0;\\2&\mbox{if }n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>

也就系講，數列中嘅原兩個數都系2，後面每一個數都系前一個數嘅兩倍加上再前面嘅一個數。呢個數列嘅原幾個項系{{OEIS|id=A002203}}：[[2]], [[2]], [[6]], [[14]], [[34]], [[82]], [[198]], [[478]]……

佩爾-盧卡斯數嘅通項公式為：
:<math>Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.</math>

呢啲數都系偶數，每一個數都系以上<math>\scriptstyle\sqrt 2</math>嘅近似值中嘅分子嘅兩倍。

[[Category:整數數列]]