睇分裂域嘅原碼

[[抽象代數]]入面，一個[[系數]][[域]]為 <math>\mathbb{K}</math> 嘅[[多項式]] ''P''(''X'') 嘅'''分裂域'''（'''[[根域]]'''）係 <math>\mathbb{K}</math> “最細”嘅一個[[擴域]] <math>\mathbb{L}</math> ，使到喺其中 ''P'' 可以被分解為一次因式 <math>X-r_i</math> 嘅乘積，其中嘅 <math>r_i</math> 係 <math>\mathbb{L}</math> 入面嘅元素。一個 <math>\mathbb{K}</math> 上嘅多項式並唔一定只係有一個分裂域，但係佢所有嘅分裂域都係[[同構]]嘅：喺同構意義上，<math>\mathbb{K}</math> 上嘅多項式嘅分裂域係唯一嘅。

== 術語同定義 ==
稱一個系數域為 <math>\mathbb{L}</math> 嘅多項式 ''P''(''X'') 係 <math>\mathbb{L}</math> 嘅某個[[域擴張|擴域]] <math>\mathbb{L}</math> 中'''分裂'''，if and only if 呢個多項式可以用呢個域入面嘅元素分解（分裂）成最簡單嘅一次因式嘅乘積：
: <math>P = \sum_{i=0}^k a_i X^i = \prod_{i=1}^k (X - r_i)</math>
其中嘅 <math>a_i \in \mathbb{K}</math>，<math>r_i \in \mathbb{L}</math>。換句話講，''P'' 嘅[[根 (數學)|根]]都喺 <math>\mathbb{L}</math> 裏面。

令到 ''P'' 喺其中分裂嘅[[擴域]] <math>\mathbb{L}</math> 有好多，譬如對於某個得 ''P'' 分裂嘅 <math>\mathbb{L}</math>，佢任意嘅擴域 <math>\mathbb{L}'</math> 亦都滿足。然而其中入面「最細」嘅域喺同構意義上係獨一無二嘅。所謂嘅「最細」域，係指符合下面條件嘅一個擴域 <math>\mathbb{E}</math> ：
#喺 <math>\mathbb{E}</math> 入面，''P'' 可以分解為一次因式嘅乘積；
#喺 <math>\mathbb{E}</math> 嘅任何真子域（唔等於自己）入面， ''P'' 無任何方法可以好似咁嚟分解。
咁樣啲擴域叫做 ''P'' 喺 <math>\mathbb{K}</math> 上面嘅'''分裂域'''。

== 例子 ==
如果 <math>\mathbb{K}</math> 係[[有理數域]] <math>\mathbb{Q}</math>，多項式為 

:''P''(''X'') = ''X''<sup>3</sup> − 2,

咁樣佢嘅分裂域 <math>\mathbb{L}</math> 可以係喺 <math>\mathbb{Q}</math> 之中加多三次[[單位根]] <math> \omega</math> 同2 嘅[[立方根]]而得到嘅擴域：<math>\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )</math>。因為呢個時候 ''P'' 可以寫成：
: <math>P = (X-\sqrt[3]{2})(X-\omega \sqrt[3]{2})(X-\omega^2 \sqrt[3]{2})</math> 

同一個多項式喺唔同嘅域上嘅分裂域唔一定相同，好似：
*多項式 ''x''<sup>2</sup> + 1 喺[[實數域]] '''R''' 上面嘅分裂域係[[複數域]] '''C'''。
*多項式 ''x''<sup>2</sup> + 1 喺[[準有限域]] '''GF'''<sub>7</sub> 上面嘅分裂域係 '''GF'''<sub>7<sup>2</sup></sub>.

多項式 ''x''<sup>2</sup> - 1 喺[[準有限域]] '''GF'''<sub>7</sub> 上面嘅分裂域係 '''GF'''<sub>7</sub>，因為喺其上 ''x''<sup>2</sup> − 1 = (''x''&nbsp;+&nbsp;1)(''x''&nbsp;−&nbsp;1) 已經分解完。

== 性質 ==
給定[[多項式]] ''P''(''X'') 在 <math>\mathbb{K}</math> 上嘅分裂域 <math>\mathbb{E}</math>，假設 <math>\mathbb{E}</math> 入面 ''P'' 分解為
:<math>P = \prod_{i=1}^k (X - r_i)</math>
咁樣 <math>\mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)</math>。

對於域 <math>\mathbb{K}</math> 嘅一個[[代數閉域]]擴域 <math>\mathbb{A}</math> 同 <math>\mathbb{K}</math> 上嘅一個多項式 ''P'' ，存在 ''P'' 喺 <math>\mathbb{K}</math> 上面嘅唯一一個分裂域 <math>\mathbb{L}</math>，使到 <math>\mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}</math>。 

對於 <math>\mathbb{K}</math> 嘅一個[[可分擴張]] <math>\mathbb{K}'</math>， <math>\mathbb{K}'</math> 嘅'''[[伽羅華閉包]]'''係一個分裂域，亦都係 <math>\mathbb{K}</math> 嘅包含 <math>\mathbb{K}'</math> 嘅一個「最細」嘅[[伽羅華擴張]]。一個咁樣嘅伽羅華閉包包含咗 <math>\mathbb{K}'</math> 入面任意元素 a 喺 <math>\mathbb{K}</math> 上面嘅[[極小多項式]]喺 <math>\mathbb{K}</math> 上嘅分裂域。

== 參考 ==
* Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). ''Abstract Algebra'' (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
* David A. Cox. ''Galois Theory'' (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1

== 睇埋 ==
* [[代數擴張]]
* [[正規擴張]]
* [[極小多項式]]
* [[可分擴張]]

[[Category:域論]]