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勾股定理
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'''勾股定理''',又叫做'''勾股弦定理'''、'''畢達哥拉斯定理'''(簡稱'''畢氏定理''')、'''商高定理''',係指[[直角三角形]]兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方,即係數式: <math>a^2+b^2=c^2.</math> == 證明 == 呢個定理有好多方法去證明,方法可能係數學眾多定理中最多嘅。[[路明思]](Elisha Scott Loomis)嘅''Pythagorean Proposition''一書中總共提到367種證明方式。 有人會嘗試以[[三角恆等式]](例如:[[正弦]]同[[餘弦]]函數嘅[[泰勒級數]])嚟證明畢氏定理,但係,因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理,所以唔用得(睇[[循環論證]])。 === 利用相似三角形嘅證法 === 有好多畢氏定理嘅證明方式,都係基於[[相似]]三角形中兩邊長嘅[[正比|比例]]。 設''ABC''為一個直角三角形,直角係角''C''。從點''C''畫上三角形嘅[[垂直|高]],並將個高同''AB''嘅交叉點稱之為''H''。呢個新三角形''ACH''同原本嘅三角形''ABC''相似,因為喺兩個三角形都有一個直角(噉亦係由於「高」嘅定義),而兩個三角形都有''A''呢個共同角,由此可知第三隻角都係相等嘅。同樣道理,三角形CBH同三角形ABC都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係: 因為 :<math> BC=a, AC=b, \mbox{ and } AB=c, \!</math> 所以 :<math> \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,</math> 可以寫成 :<math>a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH.\,</math> 綜合呢兩個方程式,可以得到 :<math>a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2.\,\!</math> 換句話講: :<math>a^2+b^2=c^2.\,\!</math> === 歐幾里得嘅證法 === [[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|right|thumb|《幾何原本》入面嘅證明]] 喺[[歐幾里得]]嘅《[[幾何原本]]》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設△''ABC''為一個直角三角形,其中''A''係直角。由''A''點劃一直線至對邊,令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二,佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。 喺定理嘅證明中,需要以下四個輔助定理: * 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊所夾嘅角相等,兩個三角形就係全等(SAS定理)。 * 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。 * 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。 * 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積(據輔助定理3)。 證明嘅思路係:將上方嘅兩個正方形,透過等高同底嘅三角形,以佢嘅面積關係,轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。 [[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|證明輔助圖2]] 證明如下: # 設△ABC為一個直角三角形,直角係CAB。 # 個邊分別係BC、AB同埋CA,依次序畫成四方形CBDE、BAGF同ACIH。 # 畫出過點A嘅BD、CE嘅平行線。條線會分別同BC嘅DE直角喺K、L相交。 # 分別連接CF、AD,形成兩個三角形BCF、BDA。 # ∠CAB同∠BAG都係直角,因此C、A同G都係線性對應嘅,B、A同H都係一樣。 # ∠CBD同∠FBA都係直角,所以∠ABD等於∠FBC。 # 因為 AB 同 BD 分別等於 FB 同 BC,所以△ABD 一定同△FBC相等。 # 因為 A 、 K 同 L成同一直綫,所以四方形 BDLK 面積係△ABD兩倍。 # 因為C、A同G成同一直綫,所以正方形BAGF面積係△FBC兩倍。 # 因此四邊形 BDLK 必定有相同嘅面積 BAGF = AB²。 # 同埋,四邊形 CKLE 必定有相同嘅面積 ACIH = AC²。 # 將呢兩個結果相加,AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC # 由於BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC # 由於CBDE係正方形,因此AB² + AC² = BC²。 呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節]{{en}},歐幾里德著,2006年12月19號睇</ref>。 由於呢個定理嘅證明要靠平行公理,而且由呢個定理可以推出平行公理,好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅[[非歐幾里得幾何]]出現。 === 圖形重新排列證法 === [[File:Pythagorean proof.svg|thumb|right|以面積減算法證明]] [[File:Pythagoras-2a.gif|thumb|right|以重新排列法證明]] 呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係<math>(a+b)^2</math>。將四個相等嘅三角形移除之後,左邊剩底嘅面積就係<math>a^2+b^2</math>,右邊剩底嘅面積係<math>c^2</math>,兩者相等。 == 畢氏定理嘅逆定理 == 畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法,其中AB=c係最長邊: * 如果<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>,△ABC係直角三角形。 * 如果<math>a^2 + b^2 > c^2 \,</math>,'''∠C係銳角'''(重要再檢驗∠A同埋∠B後,先可以確認△ABC係唔係銳角三角形)。 * 如果<math>a^2 + b^2 < c^2 \,</math>,△ABC係鈍角三角形。 == 逆定理嘅證明 == 畢氏定理嘅逆定理嘅證法數明顯少過畢氏定理嘅證法。以下係一啲常見證法。 === 同一法 === 構造<math>\triangle A'B'C'</math>,使<math>a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}</math>。 根據畢氏定理,<math>c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c</math>,從而<math>\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC</math>(SSS)。 因此,<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。 === 餘弦定理 === 根據餘弦定理,<math>\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>。由於<math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math>,故<math>\cos C = 0 \,</math>,從而<math>\angle C = 90^\operatorname{\omicron}</math>。 === 相似三角形 === 喺AB邊上截取點D令<math>\angle DCB = \angle A</math>。 喺<math>\triangle CDB \,</math>同<math>\triangle ACB\, </math>中,<math>\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB</math>。 從而,<math>\frac {BC}{BA} = \frac {BD}{BC} \Rightarrow BD= \frac {a^2}c</math>,以及<math>\frac {CD}{AC} = \frac {CB}{AB} \Rightarrow CD= \frac {ab}c</math>。 另一方面,<math>AD=AB-BD=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c</math>,故此由<math>\frac {DC}{AD}=\frac {BC}{AC} = \frac {BD}{CD} = \frac ab</math>知,<math>\triangle ACD \sim \triangle CBD</math>。 因此,<math>\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron}</math>,所以<math>\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}</math>。 ==參考== {{Reflist}} [[Category:三角學]] [[Category:幾何定理]]
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