睇比舒公式嘅原碼

'''比舒公式'''（Bézout's Lemma / Bézout's Identity）係十八世紀[[法國]]數學家Étienne Bézout推廣出去（唔係證明）嘅定理。佢主要將兩個數字同佢哋嘅[[最大公因數|GCD]]寫成一條數學式。佢可以用喺整數度，除咗整數入面，亦可以擴展到[[多項式|域中多項式]]。比舒公式係[[數論]]入面同[[抽象代數]]入面一條好基

== 定理 ==
假設有兩個整數<math>a,b\in\Z</math>，而且<math>a,b\neq0</math>。咁樣就一定有一個<math>x,y\in\Z</math>符合以下：<math display="block">gcd(a,b)=ax+by</math>

== 證明 ==
利用輾轉相除法，得知一系列嘅數學等式：<math display="block">\begin{align}
a&=bq_0+r_0\\
b&=r_0q_1+r_1\\
.\\
.\\
.\\
r_{n-3}&=r_{n-2}q_{n-1}+r_{n-1}\\
r_{n-2}&=r_{n-1}q_n+r_n\\
\end{align}</math>

得知<math>gcd(a,b)=r_{n-1}</math>。利用逆代入法，<math display="block">\begin{align}
gcd(a,b) &= r_{n-2}-r_{n-1}q_n\\
&= r_{n-2}-q_n(r_{n-3}-r_{n-2}q_{n-1})\\
&.\\
&.\\
&.\\
&= ax+by
\end{align}</math>

== 推論 ==
如果a同b係[[相對質數]]，即係<math>gcd(a,b)=1</math>，咁樣就會有兩個整數<math>x,y\in\Z</math>令到<math>ax+by=1</math>。

'''證明：'''

因為比舒公式，<math>gcd(a,b)=ax+by</math>。而同時因為，<math>gcd(a,b)=1</math>，所以<math>ax+by=1</math>。

如果<math>gcd(a,b)=d</math>，咁呢<math>(\frac{a}{d})x+(\frac{b}{d})y=1</math>。

'''證明：'''

因為比舒公式，<math>d=ax+by</math>。而同時因為，<math>d|a</math>同<math>d|b</math>，所以<math>d|a</math>同<math>d|b</math>都係一個整數，根據以上定理，<math>gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1</math>，所以<math>\frac{a}{d}</math>同<math>\frac{b}{d}</math>都係一個[[相對質數]]。

== 睇埋 ==
* [[最小公倍數]]
* [[最大公因數]]
* [[歐幾理得推論]]
* [[相對質數]]

{{數論}}
[[Category:數學]]