睇泰勒級數嘅原碼

'''泰勒級數'''（又叫'''泰勒展開式'''，英文係'''Taylor Series'''）係將[[光滑函數]]展開為[[多項式]]嘅方法。其中一個好處係，容易做[[微積分]]。

==定義==
<math>f(x)</math> 喺參考點 <math>x=a</math> 嘅泰勒展開式：
:<math>f(x)={\sum_{n=0}^\infin}{f^{(n)}(a) \over n! } (x-a)^n
= f(a) + f'(a) (x-a) + {f''(a) \over 2!} (x-a)^2 + {f^{(3)}(a) \over 3!} (x-a)^3 + ...
</math>
當 <math>a=0</math> 嗰陣，又叫[[麥克勞林級數]]。

==例子==
*<math>e^x = {\sum_{n=0}^\infin} {x^n \over n! }
 = 1 + x + {x^2\over 2!} + {x^3\over 3!} + {x^4\over 4!} + ... </math>
*<math>\cos(x)={\sum_{n=0}^\infin} (-1)^n { x^{2n}\over (2n)!}
= 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4! } - {x^6 \over 6! } + ... </math>
*<math>\sin(x)={\sum_{n=0}^\infin} (-1)^n { x^{2n+1}\over (2n+1)!}
= x - {x^3\over 3! } + {x^5\over 5! } - {x^7\over 7! } + ... </math>

==證明==
假設一個函數可以寫做無限項嘅多項式：
:<math> f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n + ... </math>
:<math> f(0) = 0!\ a_0 </math>
將函數微分1階：
:<math> f'(x) = 1\ a_1 + 2\ a_2\ x + 3\ a_3\ x^2 + 4\ a_4\ x^3 + ... + n\ a_n\ x^{n-1} + ... </math>
:<math> f'(0) = 1!\ a_1</math>
2階微分：
:<math> f''(x) = ( 2\times 1)\ a_2 + (3\times 2)\ a_3\ x + (4\times 3)\ a_4\ x^2 + (5\times 4)\ a_5\ x^3 + ... + [n\times (n-1)]\ a_n\ x^{n-2} + ... </math>
:<math> f''(0) = 2!\ a_2 </math>
3階微分：
:<math> f^{(3)}(x) = P^3_3\ a_3\ + P^4_3\ a_4\ x + P^5_3\ a_5\ x^2 + P^6_3\ a_6\ x^3 + ... + P^n_3\ a_n\ x^{n-3} + ... </math>
:<math> f^{(3)}(0) = 3!\ a_3 </math>
k階微分：
:<math> f^{(k)}(x) = P^k_k\ a_k\ + P^{k+1}_k\ a_{k+1}\ x + P^{k+2}_k\ a_{k+2}\ x^2 + P^{k+3}_k\ a_{k+3}\ x^3 + ... + P^n_k\ a_n\ x^{n-k} + ... </math>
:<math> f^{(k)}(0) = k!\ a_k </math>
n階微分：
:<math> f^{(n)}(x) = P^n_n\ a_n + P^{n+1}_n\ a_{n+1}\ x  + ... </math>
:<math> f^{(n)}(0) = n!\ a_n </math>
所以原函數 <math>f(x)</math> 每項嘅係數可以寫做：
:<math> a_k = {f^{(k)}(0)\over k!}\ ,\ (k=0,1,2,...,n,n+1,...)</math>
再配返每項嘅變數可以寫做：
:<math> a_k\ x^k = {f^{(k)}(0)\over k!}x^k\ ,\ (k=0,1,2,...,n,n+1,...)</math>
所以原函數可以寫做：
:<math> f(x) = {\sum_{k=0}^\infin} a_k\ x^k = {\sum_{k=0}^\infin} {f^{(k)}(0)\over k!}x^k</math> ([[麥克勞林級數]])
另外，令 <math>g(x)</math> 係 <math>f(x)</math> 向右平移 <math>a</math> 個單位：
:<math> g(x) = f(x-a) = {\sum_{k=0}^\infin} a_k\ (x-a)^k = {\sum_{k=0}^\infin} {f^{(k)}(a)\over k!}(x-a)^k</math> (泰勒級數)



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