睇無窮分數嘅原碼

'''無窮分數'''（Continued fraction），又叫'''連分數'''，係一類好特別嘅[[分數]]。佢喺[[數論]]同[[數學分析]]呢兩個數學分支入面都有好重要嘅角色。

一個無窮分數個樣係咁嘅<math display="block">a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}</math>但係因為呢個樣太麻煩，所以一般會將佢轉成<math>[a_0;a_1,a_2,\cdots]</math>嚟表達。

佢喺數學上可以做出好正嘅[[近似值]]。例如[[黃金比例]]<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>，正正就係無窮分數<math display="block">\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}</math>而<math>[1;2]</math>就係<math display="block">1+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}</math>

用無窮分數嚟表達<math>\pi</math>，就可以寫成
:<math>\pi</math> ≈ <math>[3;7,15,1,292]=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292}}}}=\frac{103993}{33102}=3.1415926530119026407\cdots</math>

== 有限無窮及簡單無窮 ==
無窮分數可以再分出'''有限無窮'''（Finite Continued Fraction），之後可以再分出'''簡單無窮'''（Simple Continued Fraction）呢兩類。

=== 有限無窮 ===
一個有限嘅無窮分數係可以用有限咁多嘅數字表達出嚟。

即係<math display="block">a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\cdots+a_n}}}</math>對應所有嘅<math>m\geq1</math>，<math>a_m</math>都係實數同埋<math>a_m\geq1</math>。

=== 簡單無窮 ===
簡單無窮就係<math>[a_0,a_1,\cdots,a_n]</math>入面每一個<math>a_i</math>都係整數。

== 無窮分數轉換法 ==
如果<math>x\in\R</math>，將<math>x</math>寫成<math>x=a_0+t_0</math>，<math>a_0\in\Z</math>同<math>0\leq t_0<1</math>。

一般會叫<math>a_0</math>做'''基層（Floor）'''，有時會將<math>a_0</math>寫成<math>a_0=\llcorner x\lrcorner</math>。

如果<math>t_0\neq0</math>，將<math>t_0</math>寫成<math>\frac{1}{t_0}=a_1+t_1</math>，<math>a_1\in\Z</math>同<math>0\leq t_1<1</math>。

咁<math>t_0=\frac{1}{a_1+t_1}</math>同埋<math>x=[a_0,a_1+t_1]</math>。

將佢繼續咁寫落去得出：

如果<math>t_i\neq0</math>，將<math>t_0</math>寫成<math>\frac{1}{t_i}=a_{i+1}+t_{i+1}</math>，<math>a_{i+1}\in\Z</math>同<math>0\leq t_{i+1}<1</math>。

咁<math>t_i=\frac{1}{a_{i+1}+t_{i+1}}</math>同埋<math>x=[a_0,a_1,\cdots,a_i,a_{i+1}+t_{i+1}]</math>。

'''例子：'''<math>\frac{5}{3}</math>
# <math>\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}=1+\frac{2}{3}</math>
# <math>\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}=\frac{2+1}{2}=1+\frac{1}{2}</math>
# <math>\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2</math>
所以<math>\frac{5}{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=[1,1,2]</math>

== 睇埋 ==
* [[局部趨向]]
* [[局部趨向數列]]
* [[無窮分數趨向性]]
* [[e嘅無窮分數|<math>e</math>嘅無窮分數]]
* [[循環無窮分數]]
* [[兩個平和之和|兩個平方之和]]
* [[輾轉相除法]]

{{數論}}
[[Category:數學]]
[[Category:數論]]
[[Category:數學分析]]
[[Category:分數]]