睇環 (代數) 嘅原碼

'''環'''（{{jpingauto|waan4}}，Ring）係[[抽象代數]]入面一個重要嘅設定。佢係一個[[集合|集]]帶住兩個[[二元運算]]，屬於一種[[代數]]結構。

基本上，好多嘅計算都係喺環上面進行。

== 歷史 ==
環論嘅歷史可以追溯到十九世紀。環論發展成形嘅原因，主要係嚟自當時嘅[[數學家]]想解決兩類環嘅問題：[[實數]]或[[虛數]]、[[多項式環]]同埋[[整數環]]。即係話，佢哋主要係為解決[[多項式]]同埋[[整數]]嘅問題，而發明出環呢個概念。

環係由數學家[[打域囂拔]]（David Hilbert）第一個用「環」呢個字，但係當時都重未有一個好確實嘅定義。直到二十世紀二十年代，環先至有一個好確實嘅定義。

1921年，數學家[[Emmy Noether]]喺佢嘅著作《環倍數理論》（Ideal Theory in Rings）提出咗一堆有關可溝通環嘅理論。呢篇文入面最重要嘅定理就係「[[環倍數連鎖定理]]」（Ascending Chain of Ideals）。

[[Emmy Noether|Emmy Noethe]]喺1907年讀完博士之後，[[打域囂拔|囂拔]]喺1915年叫佢去[[哥德根大學]]幫佢手做研究。但係因為Emmy係個女人，令到當時嘅大學唔肯畀一個教席佢。所以佢一直都係用囂拔個名嚟教書。直到1923年，打完[[第一次世界大戰]]，因為有啲政策上嘅改動，佢先有返一個教席。但喺1933年希特拉上台，身為[[猶太人]]嘅佢好快就被迫走到[[美國]][[費城]]。

== 定義 ==
一個代數'''環'''<math>(\textbf{R},+,\times)</math>係一個集<math>\textbf{R}</math>連帶住兩個[[二元運算]]<math>+</math>同埋<math>\times</math>，即係加法同乘法。而佢哋必須符合：
* <math>(\textbf{R},+)</math>係[[阿標羣|阿標群]]。
** <math>\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>
** <math>\exist\text{ }e \in G \text{, such that }\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a</math>
** <math>\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e</math>
** <math>\forall a,b \in G, a\cdot b=b\cdot a</math>
* 乘法係可以'''結合（Associative）'''。
** <math>\forall a,b\in\textbf{R}, a\times(b\times c)=(a\times b) \times c</math>
* <math>\forall a,b,c\in\textbf{R}, a\times(b+c)=(a\times c)+(b\times c)\text{ and }(a+c)\times c=(a\times c)+(b\times c)</math>。

如果<math>(\textbf{R},+,\times)</math>係一個環：
* <math>\textbf{R}</math>係'''可溝通環（commutative）'''，或者可溝通性，即係話係<math>\textbf{R}</math>入面揀任何兩粒嘢<math>a,b\in\textbf{R}</math>，都會滿足<math>ab=ba</math>。
* <math>\textbf{R}</math>係'''有單位（with unity）'''，或者單位性，即係話<math>\textbf{R}</math>入面對應任何一粒嘢，佢都會有一粒乘法恆等元（multiplicative identity），即係會有一粒嘢叫<math>\underline{1}</math>符合<math>a\times\underline{1}=\underline{1}\times a=a</math>。

如果唔用[[群 (數學)|群]]嘅術語嚟定義：

一個集<math>\textbf{R}</math>連帶住兩個[[二元運算]]<math>+</math>同埋<math>\times</math>，即係[[加法]]同[[乘法]]。如果<math>(\textbf{R},+,\times)</math>係一個環，佢哋必須符合：
* '''包住/被綁定（Closure）'''：<math>a+b\in\textbf{R};a\times b\in\textbf{R}\quad a,b\in\textbf{R}</math>
* '''結合性（Associativity）'''：<math>(a+b)+c=a+(b+c);(a\times b)\times c=a\times(b\times c) \quad a,b,c\in\textbf{R}</math>
* '''可溝通性（Commutativity）'''：<math>a+b=b+a\quad a,b\in\textbf{R}</math>
* '''可融性（Distributivity）'''：<math>(a+b)\times c=a\times c+b\times c\quad a,b,c\in\textbf{R}</math>
* '''有恆等元（Identity）'''：<math>\exist\text{ }\underline{0} \in G \text{ such that }\forall a\in G, a\cdot \underline{0}=\underline{0}\cdot a=a</math>
* '''有可逆元（Inverse）'''：<math>\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=\underline{0}</math>

== 例子 ==
'''例一：'''
* <math>(\Z,+,\times)</math>
* <math>(\Q,+,\times)</math>
* <math>(\R,+,\times)</math>
* <math>(\C,+,\times)</math>
都係好明顯嘅環。

'''例二：'''

設<math>F</math>係一個集包括所有由<math>\R</math>去<math>\R</math>嘅函數，即係<math>F:=\{f:\R\to\R\}</math>。

<math>(F,+)</math>係阿標群，<math>+:=(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>。

定義<math>\times:=(fg)(x)=f(x)+g(x)</math>。

所以<math>F</math>係一個環。

'''例三：'''

<math>(n\Z,\times)</math>係一個阿標群。

明顯，佢帶住<math>(n\Z,+)</math>都係一個阿標群。

所以<math>(n\Z,+,\times)</math>係一個環。

== 性質 ==
<math>\textbf{R}</math>係一個環，咁佢一定會有一個'''加法恆等元素（Additive Identity）'''<math>\underline{0}</math>，對應任何<math>a,b\in\textbf{R}</math>，以下嘅事情都成立：
* <math>0a=a0=0</math>
* <math>a(-b)=(-a)b=-(ab)</math>
* <math>(-a)(-b)=ab</math>

== 其他特性 ==
<math>\textbf{R}</math>係一個環。
* <math>\textbf{R}</math>係可溝通性<math>\iff</math><math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>，對應所有嘅<math>a,b\in\textbf{R}</math>。
* 如果<math>(\textbf{R},+)</math>係[[阿標群]]同埋<math>ab=0,\forall a,b\in\textbf{R}</math>，咁<math>(\textbf{R},+,\times)</math>係一個環。

== 睇埋 ==
* [[域 (數學)|域]]
* [[環同位轉換]]
* [[環相等轉換]]
* [[非零域|場]]

{{現代數學基礎}}

[[Category:抽象代數]]
[[Category:環論]]