睇稠密集嘅原碼

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在[[拓撲學]]及[[數學]]的其它相關領域，給定[[拓撲空間]] ''X'' 及其[[子集]] ''A'' ，如果對於 ''X'' 中任一點 ''x''，''x'' 的任一[[鄰域]]同 ''A'' 的[[交集]]不為空，則 ''A'' 稱為在 ''X'' 中'''稠密'''。直觀上，如果 ''X'' 中的任一點 ''x'' 可以被''A''中的點很好的逼近，則稱 ''A'' 在 ''X'' 中'''稠密'''。

等價地說，''A'' 在 ''X'' 中'''稠密'''當且僅當 ''X'' 中唯一包含 ''A'' 的[[閉集]]是 ''X'' 自己。或者說，''A'' 的[[閉包]]是 ''X'' ，又或者 ''A'' 的[[內部]]是[[空集]]。


== 度量空間中的稠密集 ==

在[[度量空間]](''E'',''d'')中，也可以定義稠密集為： ''A'' 在 ''E'' 的一個子集 ''X'' 中'''稠密'''當且僅當對於 ''X'' 中的任一元素 ''x'' ，都存在 ''A'' 中的一個元素列，其[[極限]]是 ''x'' 。

如果 ''E'' 是一個[[完備]]的度量空間，那麼一列在 ''E'' 中稠密的[[開集]] <math>{U_n}_{n \le 1} </math> 的交集：<math>\cap^{\infty}_{n=1} U_n</math> 仍然在 ''E'' 中稠密。這個結論可以由[[貝爾範疇定理]]直接推出。


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Equivalently, ''A'' is dense in ''X'' if the only [[closed set|closed subset]] of ''X'' containing ''A'' is ''X'' itself. This can also be expressed by saying that the [[closure (topology)|closure]] of ''A'' is ''X'', or that the [[interior (topology)|interior]] of the complement of ''A'' is empty. 

An alternative definition in case of the metric spaces is the following: A set ''A'' in a [[metric space]] ''X'' is dense if every <math>x</math> in <math>X</math> is a [[limit of a sequence]] of elements in ''A''.
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== 例子 ==
* 每一拓撲空間是其自身的稠密集。
* [[有理數域]]和[[無理數域]]是[[實數域]]中的稠密集（在通常[[拓撲]]意義下）。
* 度量空間<math>M</math>是其[[完備集]]<math>\gamma M</math>中的稠密集。

== 睇埋 ==
*[[可分空間]] 存在可數稠密集的空間。
*[[無處稠密集]] 意如其文。

[[Category:點集拓撲學]]

[[ja:稠密]]