睇羣嘅原碼

{{dablink|深入講羣，請睇'''[[羣論]]'''。}}
'''羣'''（Group）係[[數學]]上一種[[代數結構]]。一個羣係一個[[集]]（set），喺上面定義一種[[運算]]（operation）（一般叫佢做「乘法」，不過唔一定係、多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」），要令到集裏面任意兩個[[元素集合論|元素]]（element）進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合以下性質，即係[[結合性質]]（associative），[[恆等性質]]（identity）同[[可逆性質]]（invertibility）。根據[[香港中文大學]][[香港中文大學數學系|數學系]]助理教授陳國威所講，所有嘅物理都係[[群作用]]（[[:en:Group action|Group Action]]）。<ref>[http://www.math.cuhk.edu.hk/course/math3030] MATH3030 - Algebra I.</ref>

== 定義 ==
<!-- 以下係數學家以廣東話為基本寫嘅定義 -->
如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個[[羣論|羣]]，就需要有一個二元運算（[[:en:Binary operation|Binary Operation]]）「•」，（多數叫佢做[[乘]]，因為係用一點嚟表示）。而[[集合|Set]]入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：
* '''[[綁住/包住]]（Closure）'''：<math>\forall a,b \in G, a\cdot b\in G</math>。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返<math>G</math>入面。
* '''[[結合性質]]（Associative）：'''<math>\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
* '''[[恆等性質]]（Identity）'''：<math>\exist\text{ }e \in G \text{, such that }\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a</math>。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫<math>e</math>或者叫<math>\underline{1}</math>又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
* '''[[可逆性質]]（Invertibility）'''：<math>\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e</math>。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做<math>e</math>。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成<math>(G,\cdot)</math>。

以上並唔要求<math>\forall a,b \in G, a\cdot b=b\cdot a</math>，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做[[阿標羣|阿標羣（Abelian group）]]。

== 例子 ==
=== 整數<math>\Z</math> ===
[[整數]]係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成<math>\Z</math>，佢入面裝住所有嘅整數，即係<math>\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\dots\}</math>。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個[[加法]]佢。咁就需要證明<math>(\Z,+)</math>係一個羣。

# '''Closure：'''（'''<math>\forall a,b \in G, a\cdot b\in G</math>'''）假設<math>\Z</math>入面其中兩個元素，叫做a同b。由於<math>a+b</math>得出嘅係整數，而<math>\Z</math>係包齊曬所有整數。所以<math>a+b\in\Z</math>。
# '''Associative：'''（'''<math>\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>'''）假設<math>\Z</math>入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完<math>a+b</math>先再加c，同做完<math>b+c</math>之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以<math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>。
# '''Identity'''：（'''<math>\exist\text{ }e \in G \text{, such that }\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a</math>'''） 是旦搵一個元素，佢搞完（即係加）其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
# '''Invertibility'''：（'''<math>\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e</math>'''） 每一粒喺<math>\Z</math>入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

=== 幾何變換 ===
譬如話，喺<math>\R^n</math>上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

:注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係[[映射]]）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他[[代數結構]]（例如[[域]]要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有[[交換群]]。

=== 常見例子 ===
{| class="wikitable"
!群
!運算
!恆等元（Identity）
!樣（Form）
!逆元（Inverse）
!係唔係阿標
|-
|<math>\Z</math>
|<math>+</math>
|<math>0</math>
|<math>n</math>
|<math>-n</math>
|係
|-
|<math>\Q^+</math>
|<math>\times</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{m}{n}</math>
|<math>\frac{n}{m}</math>
|係
|-
|<math>\Z_n</math>
|<math>+\mod n</math>
|<math>0</math>
|<math>k</math>
|<math>n-k</math>
|係
|-
|<math>\R^\times</math>
|<math>\times</math>
|<math>1</math>
|<math>x</math>
|<math>\frac{1}{x}</math>
|係
|-
|<math>\textbf{GL}(2,F)</math>
|矩陣乘法
|<math>\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix} 
a&b \\c&d \end{bmatrix}</math>

<math>ad-bc\neq0</math>
|<math>\begin{bmatrix}
\frac{d}{ad-bc} &\frac{-b}{ad-bc} \\
\frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{bmatrix}</math>
|唔係
|-
|<math>U(n)</math>
|<math>\times\mod n</math>
|<math>1</math>
|<math>k</math><math>\gcd(k,n)=1</math>
|<math>kx\mod n=1</math>嘅解
|係
|-
|<math>\R^n</math>
|<math>+</math>
|<math>(0,0,\cdots,0)</math>
|<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>
|<math>(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)</math>
|係
|-
|<math>\textbf{SL}(2,F)</math> 
|矩陣乘法
|<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a \\
\end{bmatrix}</math>
|唔係
|-
|<math>D_n</math>
|<math>\circ</math>
|<math>R_0</math>
|<math>R_{a'}L</math>
|<math>R_{360-a'}L</math>
|唔係
|}

== 性質 ==
由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合<math>\forall a,b \in G, a\cdot b=b\cdot a</math>要求，咁樣呢個群就係[[阿標羣|阿標群]]。」，但係群都有其他性質：
* 用域（Field）入面非零嘅噖，加一般既[[乘|乘法]]整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
* 用環（Ring）入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定<math>G</math>係個群同埋<math>a,b,c\in G</math>都係<math>G</math>入面嘅嘢。
# 如果<math>a\cdot b=a\cdot c</math>係<math>G</math>入面成立，咁<math>b=c</math>。對應既係，如果<math>ba=ca</math>，咁<math>b=c</math>。
# 每一個<math>G</math>入面，只係得一粒<math>e</math>。
# 每一粒<math>a</math>，佢嘅<math>a^{-1}</math>都係得一粒。
# <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>
# <math>(a^{-1})^{-1}=a</math>
# 對應任何整數<math>m,n\in\Z</math>，<math>a^m\cdot a^n=a^{m+n}</math>同<math>(a^m)^n=a^{mn}</math>都會成立。

=== 證明 ===
{{HideH|證明(1)}}
因為<math>a\cdot b=a\cdot c</math>喺<math>G</math>入面成立，咁一定會有一個<math>a^{-1}</math>係<math>G</math>入面，咁即係<math display="block">\begin{align}
a\cdot b &= a\cdot c\\
a^{-1} \cdot (a\cdot b) &= a^{-1} \cdot (a\cdot c)\\
(a^{-1} \cdot a)\cdot b &= (a^{-1} \cdot a)\cdot c\\
e \cdot b &= e \cdot c\\
b &= c
\end{align}</math>
{{HideF}}
{{HideH|證明(2)}}
假設有兩個<math>e,e'\in G</math>。

咁因為<math>e</math>係恆等，所以<math>e\cdot e' = e'\cdot e=e</math>。

而因為<math>e'</math>係恆等，所以<math>e'\cdot e = e\cdot e'=e'</math>。

由上面兩條式睇到，<math>e=e'</math>。
{{HideF}}
{{HideH|證明(3)}}
假設<math>a\in G</math>，同時有兩粒<math>m,m'</math>符合<math>a\cdot m=e</math>，<math>a\cdot m'=e</math>。

咁得出，<math>a\cdot m = e = a\cdot m'</math>。

利用(1)嘅結果，得知<math>m=m'</math>。
{{HideF}}
{{HideH|證明(4)}}
假設<math>a,b\in G</math>。<math display="block">\begin{align}
(ab) \cdot (ab)^{-1} &= e\\
b\cdot (ab)^{-1} &= a^{-1}\\ 
(ab)^{-1} &= a^{-1}\cdot b^{-1}
\end{align}</math>
{{HideF}}
{{HideH|證明(5)}}
假設<math>a\in G</math>。<math display="block">\begin{align}
a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1} &= e\\
 (a^{-1})^{-1} &= a\\
\end{align}</math>
{{HideF}}

== 有限群同基數 ==
基數（Order）係群嘅一個概念，佢同集嘅基數（Carnality）嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

=== 定義(有限群) ===
假設<math>G</math>係一個群。如果<math>G</math>係'''有限群（Finite Group or Finite Order）'''，即係話佢入面只係得有限嘅元素（嘢）。

<math>G</math>入面嘅嘢嘅數量會叫做<math>G</math>'''嘅基數（Order of G）'''，一般會用<math>|G|</math>嚟表示。

如果<math>G</math>入面嘅嘢係無限咁多，會將<math>G</math>叫做'''無限群（Infinite Order）'''。

=== 定理 ===
如果有<math>G</math>同<math>H</math>兩個群。將<math>\circ</math>定義為一個係<math>G\times H</math>入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅<math display="block">(g,h)\circ(g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')</math>咁樣<math>G</math>就係一個群。

如果<math>G</math>同<math>H</math>都係阿標群，咁<math>G\times H</math>都係阿標群。

如果<math>G</math>同<math>H</math>都係有限群，咁<math>G\times H</math>都係，而且<math>|G\times H|=|G||H|</math>。

=== 定義(元素基數) ===
設<math>G</math>係一個群，<math>g\in G</math>係<math>G</math>入面嘅一粒嘢。

如果<math>g</math>係'''有基數'''（Finite Order），即係話，對應一啲嘅正整數<math>k\in\Z^{+}</math>，<math>g^k=e</math>。

一般，會將最細嘅正整數<math>n\in\Z^+</math>，符合<math>g^n=e</math>，叫做'''<math>g</math>嘅基數'''（Order of the element <math>g</math>）。

一般會寫做，<math>|a|=n</math>，<math>g</math>嘅基數係<math>n</math>。

如果<math>g</math>係'''冇基數'''（Infinite Order），即係話，對應所有嘅正整數<math>k\in\Z^+</math>，<math>g^k\neq e</math>。

=== 性質 ===
以下假設咗<math>G</math>係一個群，而<math>g</math>係<math>G</math>入面嘅嘢。
# 如果<math>g</math>係冇基數，咁每一粒<math>g^k</math>都係唔同嘅（唔相等嘅），<math>k\in\Z^+</math>係正數。
# 如果<math>g</math>係有基數，而佢嘅基數係<math>n</math>，咁<math>g^k=e\iff n|k</math>同埋<math>g^i=g^j \iff i\equiv j \mod n</math>。
# 如果<math>g</math>係有基數，而基數係<math>n=td</math>，咁<math>g^t</math>嘅基數係<math>d</math>。
# 如果<math>g^i=g^j,i\neq j</math>，咁<math>g</math>就有基數。

'''證明'''
{{HideH|證明(1)}}
利用[[否定證明]]，證明如果有<math>g^k</math>係相等，咁即係<math>g</math>係有基數。

假設<math>g^i=g^j,j>i</math>。

<math>\begin{align}
g^i &= g^j\\
g^{-i} \cdot g^i &= g^{-i} \cdot g^j\\
e &= g^{j-i}
\end{align}</math>

咁即係<math>g</math>係有基數。
{{HideF}}
{{HideH|證明(2)}}

假設<math>g</math>嘅基數係<math>n</math>。

因為<math>n|k</math>，所以<math>nt=k</math>。

<math>g^k=g^{nt}=(g^n)^t=e^t=e</math>

上面證明咗，如果<math>k</math>係<math>n</math>嘅倍數，咁<math>g^k=e</math>。

利用(1)嘅證明得知，<math>j-i</math>係<math>n</math>嘅倍數。

利用[[商餘|同餘]]定義，<math>i\equiv j\mod n</math>。
{{HideF}}
{{HideH|證明(3)}}

假設<math>g</math>嘅基數係<math>n=td</math>。

<math>\begin{align}
g^n &= e\\
g^{td} &= e\\
(g^t)^d &= e\\
(g^t)\cdots\text{ d times }\cdots(g^t) &= e
\end{align}</math>

所以<math>g^t</math>嘅基數係<math>d</math>。
{{HideF}}

== 應用 ==
利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設<math>G</math>係一個群，<math>g,a,b,c</math>都係<math>G</math>入面嘅剐。
# 如果<math>g^2=g</math>，咁<math>g=e</math>。
# 如果<math>ab=e</math>，咁<math>ba=e</math>。
# 如果<math>G</math>係阿標群，咁<math>(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}</math>係一定成立。「<math>\iff</math>」
# 如果<math>G</math>嘅基數係<math>2</math>，咁<math>G</math>就係一個阿標群。「即係話，<math>|G|=2\iff g=g^{-1}</math>」
# 只會得一粒<math>g</math>係符合<math>agb=c</math>。
# <math>|g|=|g^{-1}|</math>
# 如果<math>|G|</math>係雙數，咁<math>G</math>入面就會有粒嘢嘅基數係<math>2</math>。

== 睇埋 ==
* [[子群]]
* [[積群]]
* [[群轉換]]

==參考==
<references />

{{現代數學基礎}}
{{羣 navbox}}
[[Category:羣論]]
[[Category:數學結構]]