睇自然對數嘅原碼

'''自然對數'''（Natural logarithm）係以''[[e (數學常數)|e]]''為[[基]]嘅[[對數函數]]（<math>\ln x\!</math>），佢嘅[[逆函數]]—[[自然指數]]<math>e^x\!</math>—係以''e''為基嘅[[指數函數]]。

== 數學表示方法 ==
自然對數嘅一般以<math>\ln x\!</math>表示，如果唔想同以10做基嘅[[常用對數]]<math>\log_{10}x\!</math>混淆，可以用「全寫」<math>\log_e x\!</math>。

而自然指數表示方法係<math>e^x=\exp(x)\!</math>。其中<math>x\!</math>可以係任意[[複數]]。

== 自然對數嘅級數展開 ==
<math>\ln(x+1)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots,\ |x|<1</math><br />

以下係另外一條展開式：
<math>\ln{x}=\sum^{+\infin}_{N=0}\frac{2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}}</math>

== 自然對數同佢逆函數嘅微積分關係 ==
<math>
\begin{align}
&\frac{{\rm{d}}e^x}{{\rm{d}}x}&=&e^x\\
&\frac{{\rm{d}}\ln\!|x|}{{\rm{d}}x}&=&\frac{1}{x}\\
&\int\ln x\ {\rm{d}}x&=&x\ln x-x+C
\end{align}
</math>

== 常見科學應用 ==
自然指數有應用響表達放射衰變（[[放射性]]）之類關於衰減嘅過程，例如放射性原子數目N隨時間變化率<math>\frac{dN}{dt}=-pN</math>，常數p係原子衰變概率，積分得到<math>N(t)=N(0)e^{-pt}</math>。

響[[Logistic人口模型]]入面，人口N隨時間嘅變化率<math>\frac{dN}{dt}=rN(K-N)</math>，其中r係增長率，K係[[環境承載力]]，解呢個[[微分方程]]，得到<math>N(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{N(0)}-1)e^{-Krt}}</math>，呢個函數亦都同自然指數有關。
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[[Category:基本特殊函數]]
[[Category:對數]]

[[de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus]]