睇質數定理嘅原碼

<!--{{refimprove|time=2011-03-29T02:26:42+00:00}}-->
'''質數定理'''描述[[質數]]嘅大致分佈情況。

質數嘅出現規律一直困惑住數學家。一個個咁睇，質數喺正整數之中嘅出現冇咩規律。但係從總體嚟睇，質數嘅個數竟然有規可循。對正[[實數]]''x''，定義π(''x'')為唔大過''x''嘅質數個數。數學家揾到咗一啲函數嚟估計π(''x'')嘅增長。以下係第一個咁樣嘅估計。

:<math>\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}</math>

其中ln ''x''係''x''嘅[[自然對數]]。上式嘅意思係當''x''趨近∞，π(''x'')同''x''/ln ''x''嘅比值趨近1。但係咁樣唔表示佢哋嘅數值隨住''x''增大而接近。

下面係對π(''x'')更好嘅估計：

:<math>\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right)</math>，當''x'' 趨近∞。

其中<math>{\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}</math>（[[對數積分]]），而關係式右邊第二項係誤差估計，睇[[大O符號]]。
<gallery></gallery>
下面呢個表比較咗π(''x'')，''x''/ln ''x''同Li(''x'')嘅大細：

:{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''x'' 
! π(''x'')<ref>{{OEIS2C|id=A006880}}</ref>
! π(''x'') − ''x'' / ln ''x''<ref>{{OEIS2C|id=A057835}}</ref>
! π(''x'') / (''x'' / ln ''x'')
! li(''x'') − π(''x'')<ref>{{OEIS2C|id=A057752}}</ref>
! ''x'' / π(''x'')
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 0.921
| 2.2
| 2.500
|-
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3.3
| 1.151
| 5.1
| 4.000
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 1.161
| 10
| 5.952
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1,229
| 143
| 1.132
| 17
| 8.137
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9,592
| 906
| 1.104
| 38
| 10.425
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78,498
| 6,116
| 1.084
| 130
| 12.740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664,579
| 44,158
| 1.071
| 339
| 15.047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5,761,455
| 332,774
| 1.061
| 754
| 17.357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1.054
| 1,701
| 19.667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455,052,511
| 20,758,029
| 1.048
| 3,104
| 21.975
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 1.043
| 11,588
| 24.283
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 1.039
| 38,263
| 26.590
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 1.034
| 108,971
| 28.896
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 1.033
| 314,890
| 31.202
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1.031
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 1.029
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 1.027
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 1.025
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 1.024
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 1.023
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 1.022
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1.021
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 1.020
| 7,250,186,216
| 51.939
|}

質數定理可以畀出第''n''個質數''p''（''n''）嘅漸近估計：
:<math>p(n)\sim n\ln\,n.</math>

佢亦都畀出咗從整數中抽到質數嘅概率。從不大於''n''嘅自然數入面隨機揀一個，佢係質數嘅概率大約係1/ln ''n''。

呢個定理嘅式子喺1798年由法國數學家[[勒讓德]]提出。1896年法國數學家[[雅克·阿達馬]]同比利時數學家[[Charles Jean de la Vallée-Poussin]]先後獨立畀出證明。證明用到咗[[複分析]]，尤其係[[黎曼ζ函數]]。

因為黎曼ζ函數同π(''x'')關係密切，所以關於黎曼ζ函數嘅[[黎曼猜想]]對[[數論]]好重要。一旦猜想獲證，就可以大大咁改進素數定理誤差嘅估計。1901年瑞典數學家[[Helge von Koch]]證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項嘅估計可以改進為

:<math> \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)</math>

至於大O項嘅常數就重未揾到。

== 初等證明 ==
質數定理有啲初等證明只需用數論嘅方法。第一個初等證明喺1949年由匈牙利數學家[[保羅·愛多士]]（Erdős Pál，英文中係Paul Erdős，又譯成保羅·埃爾德什；匈牙利人名係先姓後名嘅）同挪威數學家[[阿特利·西爾伯格]]合作得出。

呢個證明發表之前，有啲數學家唔相信可以揾出唔需要借助艱深數學嘅初等證明。譬如英國數學家[[高德菲·哈羅德·哈代|哈代]]就話過：質數定理必須用複分析嚟證明，顯出定理結果嘅「深度」。佢認為淨用實數唔足以解決某啲問題，必須引入[[複數]]嚟解決。呢句話係憑感覺講出嚟嘅，覺得有啲方法比起第啲更加高等、犀利，而質數定理嘅初等證明動搖咗呢種論調。Selberg－艾狄胥嘅證明啱好表示，睇似初等嘅[[組合數學]]，威力都可以好大。

但係，雖然呢個初等證明淨用到初等嘅辦法，但係佢嘅難度甚至大過用到複分析嘅證明好多。

== 註 ==
{{Reflist}}

[[Category:質數|定理]]
[[Category:數學定理]]

[[pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych]]