睇連續函數嘅原碼

'''連續函數'''（Continuous function）係一類好重要跁[[函數]]，同時佢喺[[數學分析]]入面都係極其重要。佢嘅概念喺[[牛頓]]嘅年代已經有，當時會有唔斷嘅線嚟形容，即係「not broken curve」。之後到咗十九世紀，就開始有一個確實嘅定義。

連續函數係一個好重要函數類，佢可以導到佢自己（Differentiable）。

== 定義 ==
設<math>A\subseteq\R,f:A\to\R,c\in A</math>。

假設有個<math>\varepsilon >0</math>，咁就會有一個<math>\delta>0</math>符合，如果喺<math>A</math>入面有一點<math>x\in A</math>符合<math>|x-c|<\delta</math>，咁<math>|f(x)-f(c)|<\varepsilon</math>。

咁就會話<math>f</math>喺<math>c</math>嗰度係連續嘅（<math>f</math> is continuous at <math>c</math>）。

如果以下條件唔成立，就會話<math>f</math>喺<math>c</math>嗰度係唔連續嘅（<math>f</math> is discontinuous at <math>c</math>）。

;注意：
* 喺呢個定義入面睇到，如果<math>c</math>係一點[[極限 (函數)|包圍點]]，咁加埋如果<math>f</math>係<math>c</math>嗰度係連續嘅，咁<math>\lim_{x\to c}f(x)=f(c)</math>。
* 由上面嘅定義睇到，<math>f</math>喺<math>c</math>呢點度係[[定義好]]。
* 同時，<math>f</math>趨向<math>c</math>嘅極限係喺<math>\R</math>入面存在。呢個極限係等於<math>f(c)</math>。

== 連續數列要求 ==
對應[[極限 (函數)|函數數列要求]]，喺呢個課題上面，都會有相類似嘅要求。

;定理

<math>f</math>喺<math>c</math>度係連續嘅，咁一定係每一個喺<math>A</math>入面嘅數列<math>(x_n)</math>係趨向<math>c</math>嘅，對應嘅<math>(f(x_n))</math>都係趨向<math>f(c)</math>。「<math>\iff</math>」

== 唔連續嘅要求 ==
假設<math>A\subseteq\R,f:A\to\R,c\in A</math>。

<math>f</math>喺<math>c</math>到係唔連續嘅，咁一定係每一個喺<math>A</math>入面嘅數列<math>(x_n)</math>係趨向<math>c</math>嘅，對應嘅<math>(f(x_n))</math>係唔趨向<math>f(c)</math>。「<math>\iff</math>」

呢個要求屬於，數列要求嘅推理。

== 集上連續函數 ==
假設<math>A\subseteq\R,f:A\to\R</math>。<math>B</math>係<math>A</math>嘅[[子集]]，即係<math>B\subseteq A</math>。

如果<math>f</math>喺<math>B</math>入面每一點都係連續嘅話，我哋會叫<math>f</math>係連續喺集<math>B</math>上面（<math>f</math> is continuous on set <math>B</math>）。

== 例子 ==
<math>f(x):=c</math>，<math>c</math>係一個[[常數]]。

呢個係一個連續函數。因為<math>\lim_{x\to c'}f(x)=c</math>同時<math>f(c')=c</math>，所以佢係連續函數。同時，佢係每點都係連續。

<math>f(x):=x</math>。

呢個都係一個連續函數。

== 睇埋 ==
* [[極限 (函數)|極限]]
* [[函數組合嘅連續性]]
* [[間上連續函數]]
* [[保西奴中間點定理]]
* [[統一連續]]

{{現代數學基礎}}
{{數學分析}}

[[Category:數學分析]]
[[Category:連續函數| ]]